Геометрия музыки
О связи между математикой и музыкой часто говорят с благоговением, преподнося её в таинственном ключе, но эта связь основана на чистой науке. Например, в основе организации западной музыки в 12 нотном строе лежит математика. А любой обучающийся игре на пианино, встречается с геометрией в квинтовом круге при изучении основ музыкальной теории.
По словам композитора и музыкального теоретика Принстонского университета, Дмитрия Тимошко, эти известные связи показывают лишь несколько нитей огромного каната, связывающего музыку и математику.
“Для понимания истинной структуры музыки, - говорит он, - необходимо понять геометрию гиперпространственных объектов. Это даёт новые возможности для понимания отрывков музыки, которыми так давно озадаченны теоретики, и позволяет по-новому иначе взглянуть на историю музыки”.
Тимошко сравнил структуру музыки с формой отвесной скалы, по которой карабкается скалолаз. "Если вы знаете параметры скалы, то вы можете представить движения скалолаза” - говорит он. “Структура самого пространства помогает совершить скалолазу определенный выбор пути, в подавляющем большинстве случаев, естественный, либо удобный. Что- то подобное происходит и с музыкой. Когда вы мыслите абстрактно, то можете прийти к понимаю, что у музыки не совсем произвольное направление. Композиторы лишь исследуют возможности, предоставленные им пространством”.
Тимошко построил собственный геометрический музыкальный аналог.
Например, музыкальный ритм часто представляется как лежащий на линии с низкими нотами слева и высокими нотами справа. Кроме того, как клубы дыма поднимаются всё выше и выше, ноты повторяются в разных октавах, таким образом, что нижняя С, средняя С, высокая С очень похожи.
Часто, точная октава конкретной ноты не имеет большого значения. Вместо этого, музыканты обычно визуализируют основной тональный круг, который движется от исходной линии, склеивая каждую точку линии, представляющей одну и ту же ноту а разных октавах. Таким образом, нижнее С, среднее С, высокое С могли бы склеиться.
Применяя тот же вид рассуждений для завершения опуса, Тимошко создал геометрическое пространство, в котором он смог бы проанализировать музыкальные отрывки с двумя нотами, проигранными одновременно.
Он взял чистый лист бумаги и нарисовал на нем две линии - горизонтальную, показывающую высоту одной ноты и вертикальную - показывающие высоту другой. Часть музыкального произведения с двумя голосами будет соответствовать точкам, движущимся внутри этого пространства.
Затем он изменил пространство, встроив музыкальную структуру внутрь него.
Во-первых, Тимошко использовал тот же метод, что и музыканты для создания основного тонального круга. Он приклеил левый край страницы к правому, превращая горизонтальные линии в окружность и создавая цилиндр из листа бумаги. Затем, он приклеил нижний конец цилиндра к верхнему, превращая вертикальные линии в окружность и превращая весь лист в нечто, напоминающее пончик.
Далее, он отметил, что порядок нот в аккорде не имеет большого значения. Это так же означает, что точки на его листе бумаги, которые обозначают С в горизонтальном направлении и Е в вертикальном, на самом деле звучат абсолютно так же как если бы С была в вертикальном а Е в горизонтальном положении. Таким образом, он взял пространство и склеил все эти точки вместе. Возможно, потребуется немного усилий для того чтобы представить это, но для двух нот одновременно это превращает лист бумаги из формы пончика в петлю Мебиуса.
Тимошко использовал тот же метод для создания геометрического пространства для моделирования фигуры с любым количеством одновременно звучащих нот. Отрывок с тремя нотами, к примеру, будет соответствовать точкам в трёхмерном пространстве. Когда он завернул пространство бумаги для того, чтобы сформовать круги и определенные аккорды с тем же ритмом но уже в другом порядке, получился призматический пончик. Для большего количества требуются больше трёх измерений, которые сейчас очень сложно представить, но совершенно не сложно описать математически.
Построив своё пространство, он начал переводить музыкальные произведения в их геометрические эквиваленты. Тимошко отметил, что если он рассчитывает мажорный аккорд в геометрическом пространстве, зеркально отразит его и как бы разместит ниже в центре, то аккорд уже получится минорный.
Поворот аккорда на другую плоскость в пространстве соответствует транспозиции аккорда в другой тональности. Композиторы должны выбирать последовательность аккордов, гармоничную для уха, и Тимошко ответил, что как правило, это осуществляется путём перехода между аккордами, при использовании различных комбинаций геометрических вращений и отражений, либо приближения к ним.
Композиторы должны писать музыку таким образом, чтобы наш ум мог связывать звуки в одну мелодию. Это проще всего, когда каждый отрывок мелодии движется только в относительно не сложном такте.
Настоящий класс для композитора - достижение одновременно и гармоничной и мелодичной последовательности. "Мы только что перевели музыку в математическое уравнение" - говорит Тимошко.
"Решение состоит в том, чтобы использовать последовательность точек, отдельных или связанных вращением, как можно ближе друг к другу".
Музыкальные теоретики уже давно озадачены прелюдией Е минор Шопена. Хоть аккорды и звучат очень гладко для человечного уха, они не совсем следуют традиционным правилам гармонии.
Когда Тимошко смотрел на бумагу и наблюдал движение состава этой мелодии в своем геометрическом пространстве, он увидел, что Шопен систематически двигался среди различных слоёв четырехмерных кубов. "Это почти как если бы он импровизировал с набором правил и ограничений".
Что действительно удивительно, Тимошко говорит, что математика, необходимая для описания этих пространств ещё даже не была разработана во времена Шопена. Тем не менее, он говорит:
"Это не вызывает сомнений, что у него было какое-то абстрактное представление о пространстве. Таким образом, это был исторический период, когда музыка была единственным способом выразить абстрактные знания Шопена. Его знание четырехмерной геометрии было наиболее эффективно выражено в фортепианных пьесах"
